Микроэлектроника и цифровая схемотехника

Позиционные системы счисления

 

Системой счисления называют способ изображения произвольного числа ограниченным набором символов, называемых цифрами. Номер позиции, определяющий вес, с которым данная цифра складывается в числе, называют разрядом, а системы счисления, обладающие отмеченным свойством, – позиционными.

В общем случае n-разрядное положительное число  N  в произвольной системе счисления с основанием  р  представляется суммой вида

                                                         (3.1)

где  a_k – отдельные цифры в записи числа, значения которых равны членам натурального ряда в диапазоне от  0  до  (р – 1).

При выполнении вычислений цифровыми электронными устройствами используются элементы с двумя устойчивыми состояниями. По этой причине в цифровой технике широкое распространение получила позиционная двоичная система счисления (с основанием 2). В каждом двоичном разряде, получившем название бит, может стоять 1 или 0. Сама же запись числа (двоичный код) представляет собой последовательность из единиц и нулей. Чтобы отличить двоичное число от десятичного, будем дополнять его справа суффиксом В (Binaire), как это принято в специальных машинно-ориентированных языках программирования, называемых ассемблерами.

Веса соседних разрядов двоичного кода числа отличаются в два раза, а самый правый разряд (младший) имеет вес 1. Поэтому, например

101101В = 1^.2⁵ + 0^.2⁴ + 1^.2³ +1^.2² + 0^.2¹ + 1^.2⁰ = 45.

Четыре соседних бита называют тетрадой, группу из 8 бит называют байтом, а из 16 бит – машинным словом. Совокупность из 1024 (2¹⁰)  байт называют килобайтом, из 1024 килобайт – мегабайтом, из 1024 мегабайт – гигабайтом.

1 Гбайт = 2¹⁰  Мбайт = 2²⁰  Кбайт = 2³⁰  байт.

Современные персональные ЭВМ могут хранить в своей памяти на жестких магнитных дисках цифровую информацию объемом в десятки гигабайт.

          Арифметические операции в двоичной системе счисления исключительно просты и легко реализуются аппаратно. Однако при вводе и выводе информации в цифровое устройство она должна быть представлена в более привычной для человека десятичной системе счисления. Стремление упростить процедуру пересчета двоичных чисел к десятичному эквиваленту привело к использованию двоично-десятичного кода. В этом коде для записи отдельных цифр разрядов десятичного числа используют тетрады их двоичного кода. Например, десятичное число 9531 в двоично-десятичном коде представляется машинным словом из четырех тетрад 

9531 = 1001   0101   0011   0001.

          Записывать двоичные числа большой разрядности утомительно. Поэтому, как правило, они представляются более компактными записями с использованием шестнадцатеричной системы счисления. В этой системе используют первые десять членов натурального ряда от 0 до 9, а в качестве остальных цифр – первые шесть латинских букв A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14,    F = 15. Справа шестнадцатеричное число будем дополнять суффиксом Н (Hexadecima).

 

          Таблица 3.1 – Соответствие чисел различных систем счисления

 

Десятичное число	Шестнадцатеричное число	Двоичное число
0         1         2         3         4         5         6         7         8         9       10       11       12       13       14       15	0                    1                    2                    3                    4                    5                    6                    7                    8                    9                    A                    B                    C                    D                    E                    F	0000      0001      0010      0011      0100      0101      0110      0111      1000      1001      1010      1011      1100      1101      1110      1111

 

Перевод двоичного числа в число системы с основанием 16 и наоборот не вызывает затруднений. Для этого исходное двоичное число справа налево разбивается на тетрады, а затем содержимое каждой из них рассматривается как двоичный код соответствующей цифры шестнадцатеричной системы. Для обратного перехода каждую цифру шестнадцатеричного числа заменяют тетрадой двоичного кода, например:  N =  8B5FH = 1000  1011  0101  1111 B.

Для перевода десятичного числа в двоичное удобно методом деления предварительно преобразовать его в шестнадцатеричное. Искомое число запишется в виде остатков от деления, начиная с последнего, например:

 

 

215   16

16     13                           215 = D7H = 1101  0111 В.

  55

  48

    7

С помощью байта данных можно представить различную информацию:

– целое число без знака (от 0 до 255);

– число от 0 до 99 в двоично-десятичном коде;

– машинный код команд микропроцессора;

– состояние восьми датчиков;                                                                    

          – двоичное число со знаком в прямом, обратном или дополнительном коде  ± Х, где Х – модуль числа (от 0 до 127), для отображения которого используются семь младших разрядов. Восьмой разряд – знаковый (0 – для положительных чисел, 1 – для отрицательных).

 

	Пример:                +16                                        -16 прямой код                    0, Х   00010000                      1, Х       10010000                  обратный код               0, Х   00010000                      1,       11101111 дополнительный код    0, Х   00010000                      1,  11110000

 

 

 

 

 

 

 

Прямой, обратный и дополнительный коды положительных чисел совпадают. Для получения дополнительного кода отрицательного числа можно проинвертировать код положительного числа и прибавить единицу. Преобразование дополнительного кода числа в прямой осуществляется по тому же правилу, что прямого в дополнительный.